¿COMO SE APLICA LA TEORIA DE FRACTALES?

TEORIA DE CATASTROFE: Es el intento que designa desarrollar un sistema matematico capaz de representar fenomenos naturales discontinuos que no son descritos satisfactoriamente por el calculo doferencial. Se intentó aplicar esta teoría para describir fenómenos discontinuos de las ciencias sociales y biológicas, pero hoy está en desuso por ser poco práctica.

Los fractales son figuras geometricas con una estructura compleja y pormenorizada a cualquier escala. Normalmente los fractales son autosemejantes, es decir, tienen la propiedad de que una pequeña sección de un fractal puede ser vista como una réplica a menor escala de todo el fractal.

Un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

-AUTOSIMILITUD EXACTA: Exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

-CUASIAUTOSIMILITUD: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.

-AUTOSIMILITUD ESTADISTICA Se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Dimensión fractal

Puede definirse en términos del mínimo número N(ε) de bolas de radio ε necesarias para recubrir el conjunto, como el límite:

D_F=\lim_{\epsilon \to 0}{ \ln N(\epsilon) \over \ln(1/\epsilon)}

O en función del recuento del número de cajas Nn de una cuadrícula de anchura 1 / 2n que intersecan al conjunto:

D_F=\lim_{n \to \infty}{ \ln N_n \over \ln(2^n)}

Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y que son invariantes bajo isometrías.

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

De una definición más compleja, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un número DH(A), también invariante bajo isometrías, cuya relación con la dimensión fractal DF(A) es la siguiente:
0 \leq D_H(A) \leq D_F(A)

Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con la misma dimensión fractal.
Dimensión de fractales producidos por un IFS

En ese caso, cuando no haya solapamiento, se demuestra que DF = DH y que ambas pueden calcularse como solución de la ecuación:

c_1^D+c_2^D+ \dots + c_k^D=1

donde ci designa el factor de contracción de cada aplicación contractiva del IFS.