¿COMO SE APLICA LA TEORIA DE FRACTALES?

TEORIA DE CATASTROFE: Es el intento que designa desarrollar un sistema matematico capaz de representar fenomenos naturales discontinuos que no son descritos satisfactoriamente por el calculo doferencial. Se intentó aplicar esta teoría para describir fenómenos discontinuos de las ciencias sociales y biológicas, pero hoy está en desuso por ser poco práctica.

Los fractales son figuras geometricas con una estructura compleja y pormenorizada a cualquier escala. Normalmente los fractales son autosemejantes, es decir, tienen la propiedad de que una pequeña sección de un fractal puede ser vista como una réplica a menor escala de todo el fractal.

Un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

-AUTOSIMILITUD EXACTA: Exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

-CUASIAUTOSIMILITUD: exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.

-AUTOSIMILITUD ESTADISTICA Se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Dimensión fractal

Puede definirse en términos del mínimo número N(ε) de bolas de radio ε necesarias para recubrir el conjunto, como el límite:

D_F=\lim_{\epsilon \to 0}{ \ln N(\epsilon) \over \ln(1/\epsilon)}

O en función del recuento del número de cajas Nn de una cuadrícula de anchura 1 / 2n que intersecan al conjunto:

D_F=\lim_{n \to \infty}{ \ln N_n \over \ln(2^n)}

Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y que son invariantes bajo isometrías.

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

De una definición más compleja, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un número DH(A), también invariante bajo isometrías, cuya relación con la dimensión fractal DF(A) es la siguiente:
0 \leq D_H(A) \leq D_F(A)

Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con la misma dimensión fractal.
Dimensión de fractales producidos por un IFS

En ese caso, cuando no haya solapamiento, se demuestra que DF = DH y que ambas pueden calcularse como solución de la ecuación:

c_1^D+c_2^D+ \dots + c_k^D=1

donde ci designa el factor de contracción de cada aplicación contractiva del IFS.

¿COMO SE APLICA LA TEORIA DEL CAOS?

Esta se encarga de los Sistemas que presentan un comportamiento impredecible y aparentemente aleatorio, aunque sus componentes esten regidos por leyes estrictamente deterministas. Desde sus origenes hasta nuestros dias se considera la Teoria del Caos como una ramificacion de la Teoria Cuantica, el mundo actual presenta comportamientos caoticos, (La variacion del cambio climatico). Los esquemas del caos están relacionados con los que se observan en la geometría fractal, y el estudio de sistemas caóticos tiene afinidades con la teoría de catástrofes.

Siendo esta un comportamiento dinamico se clasifica de la siguiente manera:

- ESTABLE: Tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión (atractor o sumidero). Un sistema inestable se escapa de los atractores. Y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el que el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.

- INESTABLE: Tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.

- CAOTICOS: No se puede lleagr a conocer nunca con exactitud los parametros que fijan las condiciones iniciales, hace que aunque se conozca el modelo, este diverja de la realidad pasado un cierto tiempo.

Los Atractores son una manera de visualizar un movimeitno caotico o cualquier otro, utilizando un diagrama de fases de movimiento. En tal diagrama el tiempo es implícito y cada eje representa una dimensión del estado. Algunas veces el movimiento representado con estos diagramas de fases no muestra una trayectoria bien definida, sino que ésta se encuentra errada alrededor de algún movimiento bien definido. Cuando esto sucede se dice que el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un atractor.
Los atractores pueden ser clasificados como periódicos, cuasi-periódicos y extraños. Estos nombres se relacionan exactamente con el tipo de movimiento que provocan en los sistemas.

La Teoría del Caos y la matemática caótica son una herramienta con aplicaciones a muchos campos de la ciencia y la tecnología. Muchas de las practicas que se realizan con la matemática caótica tienen resultados concretos porque los sistemas que se estudian están basados estrictamente con leyes deterministas aplicadas a sistemas dinámicos.

La Teoría del Caos ya no es en sí una teoría: tiene postulados, fórmulas y parámetros recientemente establecidos con aplicaciones.

¿COMO ACTUAN EL CAOS Y LAS FRACTALES?

Los fractales son objetos geométricos que poseen dos características fundamentales:
Autosimilitud (Perfecta,Estadistica), Dimensión Fraccionaria.

Los objetos Fractales se pueden clasificar de la siguiente manera:
Lineales, Complejos, Caoticos.

Pasos para crear un Fractal:
1- Se elige una imagen generadora
2- Se elige un algoritmo de transformación de la imagen generadora.
3- Se itera el algoritmo infinitas veces, o con un límite determinado como variable en un software.

Definicion De Geometria Fractal: Es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descritas a través de algoritmos matemáticos y computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás figuras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como características fundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir en extraños paisajes formados por dimensiones fraccionarias.





En la Teoria de Caos: Efecto Mariposa

Este concepto hace referencia a la sensibilidad de un sistemas a las condiciones iniciales:

El aleteo de una mariposa en Tokio
puede generar un torbellino en
el Caribe

Leyes Informales del Caos:

Todo sistema presenta una dualidad Orden – Caos

Todo sistema presuntamente Ordenado tiende al Caos.

Todo sistema Caótico presenta islas de Orden intrínsecas

GLOSARIO

TEORIA: Una teoría es un sistema lógico compuesto de observaciones, axiomas y postulados, que tienen como objetivo declarar bajo qué condiciones se desarrollarán ciertos supuestos, tomando como contexto una explicación del medio idóneo para que se desarrollen las predicciones. A raíz de estas, se pueden especular, deducir y/o postular mediante ciertas reglas o razonamientos, otros posibles hechos.

SISTEMAS: Un sistema es un conjunto de funciones, virtualmente referenciada sobre ejes, bien sean estos reales o abstractos. También suele definirse como un conjunto de elementos dinámicamente relacionados formando una actividad para alcanzar un objetivo operando sobre datos, energía y/o materia para proveer información.

TRANSDISCIPLINARIEDAD:Son formas de investigación integradoras, como un principio de unidad del conocimiento más allá de las disciplinas.

MODELOS: Es la representacion de la realidad; es una abstraccion, una simplificacioc de la misma.

GLOBALIZACION: Es un proceso económico, tecnológico, social y cultural a gran escala, que consiste en la creciente comunicación e interdependencia entre los distintos países del mundo unificando sus mercados, sociedades y culturas, a través de una serie de transformaciones sociales, económicas y políticas que les dan un carácter global.

SISTEMA CERRADO: Las variaciones del medio que afectan al sistema son conocidas.

SISTEMA ABIERTO: Existe un intercambio de energia de informacion entre el subsistema (sistema) y su medio o entorno.

INTERRELACION: Entre los elementos del sistema tomando en cuenta cada uno de los elementos en forma individual.

TOTALIDAD: Es donde se enfpcan los sistemas y trata de hacer frente a todo con todos los componentes de forma interrelacionada

BUSQUEDA DE OBJETIVOS: Depende de los elementos por los que esten formados los sistemas, para buscar que se cumplan las metas trazadas.

INSUMOS Y PRODUCTOS: Ayudan a la formacion de los sistemas dando como bojetivo el cumplimietno de las metas propuestas por este.

TRANSFORMACION: Modifican las entradas y las salidas de un Sistema.

ENTROPIA: Estado de desorden en el que se encuentre un Sistema.

REGULACION:> Mantienen el orden y el cumplimiento de las funciones que poseen cada uno de los componentes de un Sistema.

JERARQUIA: El orden el que se clasifiquen los Sistemas dependiendo de su importancia.

DIFERENCIACION: Cada uno de los componentes de un sistema poseen funciones especificadas lo cual contribuye al buen proceso del Sistema

EQUIFINALIDAD: Identicos resultados pueden tener origenes distintos, porque lo decisivo es la naturaleza de la organizacion. Así mismo, diferentes resultados pueden ser producidos por las mismas causas.

ENTRADAS: Mediante ellas el sistema consigue los recursos e insumos necesarios para su alimentación y nutrición.

PROCESOS: Transforma las entradas en salidas o resultados

SALIDAS: Resultado de la operación del sistema. Por medio de ella el sistema envía el producto resultante al ambiente externo.

RETROALIMENTACION: Se produce cuando las salidas del sistema o la influencia de las salidas del sistema en el contexto, vuelven a ingresar al sistema como recursos o información.

MODELOS FISICOS: Representacion fisica de la realidad.

MODELOS ABSTRACTOS: Representacion de tipo verbal, matematico o grafico; que hacen posible se desarrollen muchos modelos verbales, matematicos y graficos.

TEORIA DEL CAOS: Teoría matemática que se ocupa de los sistemas que presentan un comportamiento impredecible y aparentemente aleatorio aunque sus componentes estén regidos por leyes estrictamente deterministas.

TEORIA DE FRACTALES: Término que designa el intento de desarrollar un sistema matemático capaz de representar fenómenos naturales discontinuos que no son descritos satisfactoriamente por el cálculo diferencial.

AUTOSIMILITUD: Si las partes de un objeto tienen las mismas formas y estructuras que el todo, aunque pueden presentarse a difernete escala y pueden estar ligeramente deformadas.

AUTOSIMILITUD PERFECTA: Cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas características del objeto completo.

AUTOSIMILITUD ESTADISTICA: Cada región de un objeto conserva, de manera estadísticamente similar, sus características globales.

DINAMICA: La dinámica de cualquier situación se refiere a como el estado de la mencionada situación planteada, evoluciona a lo largo del tiempo.

SISTEMAS DINAMICOS: Son aquellos que, mediante una regla, pueden ser definidos por un conjunto de variables cuyos valores cambian a lo largo del tiempo.

ATRACTOR EXTRAÑO: es una curva del espacio de las fases que describe la trayectoria de un sistema en movimiento caótico. Un sistema así es completamente impredecible: conocer la configuración del sistema en un momento dado no permite predecir con certeza su configuración en un momento posterior. Sin embargo, el movimiento no es totalmente aleatorio, como se ve por el aspecto general de la trayectoria mostrada.

¿QUE ES TEORIA GENERAL DE SISTEMAS?

Se define TGS como una forma ordenada y cientifica de aproximacion y representaciOn del mundo real, orientada a una practica estimulante para formas de trabajo trandisciplinario. Es vista como una teoria matematica convencional, un tipo de pensamiento, una ordenacion de acuerdo, a niveles de teorias de sistemas con generlidad creciente.

Es la historia de la filosofia, una metodologia de analisis, el estudio de la realidad y el desarrollo de modelos a partir de los cuales se puede intentar una aproximacion a una percepcion de la globalidad.

Como parte importante de la TGS encontramos los Sistemas; siendo estos un grupo de partes y objetos que actuan de manera interrelacionada y que forman un todo o que se encuentran bajo la influencia de fuerzas en alguna relacion definida.

Se pueden dividir en:
CERRADOS, y ABIERTOS. Encontramos en los Sistemas ciertas caracteristicas: Interrelacion, Totalidad, Busqueda de Objetivos, Insumos y Productos, Transformacion, Entropia, Regulacion, Jerarquia, Diferenciacion y Equifinalidad.

Los Sistemas funcionan de la siguiente manera: ENTRADAS, PROCESOS, SALIDAS Y RETROALIMENTACION.

Alli tambien encontramos como parte fundamental, los Modelos, siendo estos una representacion de la realidad y simplificacion de la misma; dividiendolos en Fisicos y Abstractos

¿QUE SON FRACTALES?

Se entiende como objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Entre sus principales caracteristicas, se puede destacar como demasiado irregular para ser descrito de manera matematica

¿QUE ES CAOS?

Teoria del caos, surgio cuando se dio a conocer un modelo climatico elaborado por EDWARD LORENZ, basado en otras teorias ya elaboradas. Se baso en teorias ya planteadas. Es considerada como la Tercera Teoria del siglo XX y como la ciencia de la totalidad, ya que consideran determinismo e indeterminismo como uno solo.